数学者たちの数十年に終止符が打たれる

研究者らは、繰り返しパターンを作成せずに表面をタイル状に配置するために使用できるスペクターと呼ばれる新しい 14 面の形状を発見し、数十年にわたる数学的な探索に終止符を打ちました。

14 の側面があり、曲線が多く、隙間や重なりがなく表面を完全に覆うことができるものは何でしょうか? それはなぞなぞではなく、「吸血鬼アインシュタイン」です。

3 月、デイビッド・スミスという名前の退職した印刷技術者は、数学の世界で驚くべき発見に遭遇しました。 彼は、繰り返すことなく表面を完全にタイル化できる 13 面の形状を発見しました。 ぼんやりフェドーラ帽のような形から「帽子」と呼ばれるこの形状は、世界中の数学者による数十年にわたる探索の集大成でした。

1961 年以来、数学者はそのような形状が存在する可能性があるのではないかと考えていました。 最初、数学者は、タイルを重ねて決して繰り返さないパターンを作成できる 20,426 個の形状のセットを発見しました (キッチンの床のタイルが繰り返しパターンを作成するのとは対照的です)。 最終的に、数学者は、このような繰り返しのないタイリングを作成できる 104 個の図形のセットを発見しました。

その後 1970 年代に、物理学者でノーベル賞受賞者のロジャー ペンローズは、一緒になって非反復タイリングを作成する 2 つの形状を発見しました。 そしてそれ以来、数十年間、数学者たちは同じトリックを 1 つの形状だけで実行できるのではないかと考え続けました。 正式には非周期モノタイルとして知られるその半ば神話的な形状は、ドイツ語で「1つの石」を意味する「アインシュタイン」として知られるようになりました。

しかし、スミスがアインシュタインタイルを発見したことで大騒ぎになったにもかかわらず、軟膏の中に一匹の小さなハエがいた。 繰り返しのないタイリングを作成するには、「帽子」をその鏡像と連動させる必要がありました。 技術的には同じ形状で、単に反転しているだけですが、スミスは実際には真のアインシュタインを見つけていないと主張する人もいました。

しかし現在、スミスと彼の同僚はそれらの反対意見を解消しました。彼らは、繰り返したり反転したりせずにサーフェスをタイル状に並べることができる形状を発見しました。 彼らは5月28日、プレプリントデータベースarXivに公開された論文でこの新しい形状について説明したが、まだ査読は受けていない。

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研究チームは、自分自身の反射を見ることができないため鏡を必要としない吸血鬼へのオマージュとして、その形状を「スペクター」と名付けました。

「平面のタイリングでは、タイルが反射することは完全に標準です。それにもかかわらず、一部の人々は、非周期的なハットのモノタイルが平面をタイル化するために反射を必要とすることに不満を抱いていました」と共著者のジョセフ・サミュエル・マイヤーズはマストドンについて書いている。 「私たちの新しいプレプリントでは、吸血鬼アインシュタインの最初の例であるスペクターを紹介します。反射なしで平面をタイル状に並べる非周期的なモノタイルです。」

幽霊のような形を見つけるために、チームは元の「帽子」の形から始めて、それに余分な側面を追加しました。 この新しい形状を完全にタイル化するにはまだ鏡像が必要ですが、研究者らは、14 面の形状の直線エッジを曲線エッジに変換することで、鏡像を省略し、1 つの形状だけで作業できることを発見しました。

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ポール M. サッターは、ニューヨーク州立大学ストーニーブルック大学とニューヨーク市のフラットアイアン研究所の天体物理学の研究教授です。 彼は「Ask a Spaceman」などのテレビやポッドキャストに定期的に出演しています。 彼は、『Your Place in the Universe』と『How to Die in Space』という 2 冊の本の著者であり、Space.com、Live Science などに定期的に寄稿しています。 ポールは、2011 年にイリノイ大学アーバナ シャンペーン校で物理学の博士号を取得し、パリ天体物理学研究所で 3 年間過ごした後、イタリアのトリエステで研究フェローシップを行いました。

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